Задача 116517

Темы:    [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Куб ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Уравнение плоскости ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Теорема косинусов ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 6, точки M и N – середины рёбер AB и B₁C₁ соответственно, а точка K расположена на ребре DC так, что
DK = 2KC.  Найдите
  а) расстояние от точки N до прямой AK;
  б) расстояние между прямыми MN и AK;
  в) расстояние от точки A₁ до плоскости треугольника MNK.

Решение

  а) Пусть P – ортогональная проекция точки N на плоскость основания ABCD, а Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки P на прямую AK. По теореме о трёх перпендикулярах  NQ ⊥ AK,  значит, расстояние от точки N до прямой AK равно длине отрезка NQ.
  Продолжим AK и BC до пересечения в точке E. Из подобия треугольников KCE и KDA находим, что  CE = AD·^KC/_DK = 3.
  Обозначим  ∠AEB = α.  Тогда  
  Из прямоугольного треугольника PQE находим, что     Следовательно,  

  б) Через точку M проведём прямую, параллельную AK. Пусть эта прямая пересекает BC в точке F. Тогда угол между прямыми MN и AK равен углу между прямыми MN и MF. Из прямоугольного треугольника MBF находим, что  
  Значит,  
  Кроме того,  
  Рассмотрим треугольник MNF. Обозначим  ∠NMF = φ.  По теореме косинусов    ,  
  Из прямоугольного треугольника ADK находим, что  AK² = AD² + DK² = 36 + 16 = 52.
  Пусть V – объём тетраэдра AKMN. Тогда, с одной стороны  V = ⅓ S_AKM·NP = ⅓·½ AM·AD·NP = ⅓·½·3·6·6 = 18,  с другой стороны, если d – искомое расстояние между прямыми AK и MN, то  
Из уравнения    находим d.

  в) Продолжим отрезок MK до пересечения с прямой BC в точке H. Из подобия треугольников KCH и MBH находим, что     откуда  CH = 12.
  Выберем прямоугольную систему координат, приняв за начало точку C, направив ось CX по лучу CD, ось CY – по лучу CB, а ось CZ – по лучу CC₁. Найдём координаты нужных нам точек:  C(0, 0, 0),  K(2, 0, 0),  A(6, 6, 6),  H(0, –12, 0),  N(0, 3, 6).  Уравнение плоскости MNK имеет вид
^x/₂ – ^y/₁₂ + ^z/_c = 1  (уравнение плоскости в отрезках), где  (0, 0, c)  – координаты точки пересечения плоскости MNK с осью CZ. Подставив в это уравнение координаты точки N, найдём, что  c = ²⁴/₅.  Значит, уравнение плоскости ABC –  12x – 2y + 5z – 24 = 0.
  Искомое расстояние от точки A₁ до плоскости MNK равно  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача 8735
Номер	8735