ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116538
Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Гомотетия: построения и геометрические места точек ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Рассматриваются все треугольники АВС, у которых положение вершин В и С зафиксировано, а вершина А перемещается в плоскости треугольника так, что медиана СМ имеет одну и ту же длину. По какой траектории движется точка А?


Решение

  В одном из рассматриваемых треугольников проведём через вершину А прямую параллельно CM, которая пересечёт прямую ВС в точке K (см. рис.).

  По теореме Фалеса,  KC = BC,  то есть CM – средняя линия треугольника AKB. Следовательно,  AK = 2CM.
  Так как положение вершин В и С фиксировано, то положение точки K также фиксировано. При движении точки А длина отрезка AK не изменяется, следовательно, точка А движется по окружности с центром К и радиусом 2СМ. (Из этой окружности надо исключить две точки, лежащие на прямой BC.)


Ответ

По окружности.

Замечания

Можно также использовать гомотетию с центром В и коэффициентом 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2011/12
класс
Класс 8
задача
Номер 8.4.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .