ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116545
Темы:    [ Процессы и операции ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шмаров В.

Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек – обозначим их A, B и C, после чего на плоскости отмечалась точка D, симметричная A относительно серединного перпендикуляра к BC. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.


Решение

  Предположим противное; тогда исходные три точки лежат на некоторой окружности ω. Докажем по индукции, что все отмеченные точки также лежат на ω. Действительно, изначально это верно. Пусть в некоторый момент по точкам A, B, C строится точка D. Тогда серединный перпендикуляр l к BC проходит через центр ω, значит, эта окружность симметрична относительно l. Так как точка A лежит на ω, то и D также на ней лежит.

  Итак, через сутки все отмеченные точки лежат на ω. Но любая прямая пересекает ω не более чем в двух точках; значит, на ней не найдётся трёх отмеченных точек. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
Задача
Номер 9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .