Задача 116563
|
|
 |
Условие
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Решение
Предположим противное. Тогда число A = cos α + cos 5α иррационально как сумма рационального и иррационального. С другой стороны,
A = 2 cos 2α cos 3α рационально как произведение трёх рациональных чисел. Противоречие.
Ответ
Не существует.
Замечания
Если убрать из условия cos 5α, то ответ будет другим. Например, при α = π/6 число cos α иррационально, а числа cos 2α, cos 3α, cos 4α рациональны.
С другой стороны, из решения видно, что cos 4α можно удалить из условия безболезненно.
