|
|
 |
Условие
Окружности ω1 и ω2 касаются внешним образом в точке P. Через центр ω1 проведена прямая l1, касающаяся ω2. Аналогично прямая l2 касается ω1 и проходит через центр ω2. Оказалось, что прямые l1 и l2 непараллельны. Докажите, что точка P лежит на биссектрисе одного из углов, образованных l1 и l2.
Решение
Пусть O1, r1 и O2, r2 – соответственно центры и радиусы окружностей ω1 и ω2, а K – точка пересечения l1 и l2.
Обозначим через P1 точку касания l2 и ω1, а через P2 точку касания l1 и ω2. Прямоугольные треугольники KO1P1 и KO2P2
подобные по острому углу. Значит, KO1 : RO2 = O1P1 : O2P2 = r1 : r2. Таким образом, в треугольнике KO1O2 точка P, лежащая на стороне O1O2, делит её в отношении, равном отношению прилежащих сторон KO1 и KO2. Из этого следует, что KP – биссектриса треугольника KO1O2.
Замечания
Возможны два принципиально различных случая расположения точек и прямых (см. рис.). Приведённое решение не зависит от случаев.
