ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116591
Темы:    [ Пятиугольники ]
[ Тригонометрический круг ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?


Решение

  Предположим противное; тогда все углы пятиугольника – различные числа из интервала  (0, π).  Поэтому у Пети не найдётся трёх равных чисел, ибо в этом интервале нет трёх различных углов с равными синусами.
  Значит, у Пети должны быть две пары равных чисел:  sin α = sin β  и  sin γ = sin δ,  при этом  α = π – β,  γ = π – δ.
   Но тогда пятый угол пятиугольника равен  3π – (α + β) – (γ + δ) = π,  что невозможно.


Ответ

Не могут.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
Задача
Номер 10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .