Задача 116622

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Внутри прямоугольного треугольника АВС выбрана произвольная точка Р, из которой опущены перпендикуляры PK и РМ на катеты АС и ВС соответственно. Прямые АР и ВР пересекают катеты в точках A' и B' соответственно. Известно, что  S_APB' : S_KPB' = m.  Найдите  S_MPA' : S_BPA'.

Решение

S_KPB' : S_APB' = KB' : AB',   S_MPA' : S_BPA' = MA' : BA'.  Докажем, что эти отношения равны. Для этого достаточно доказать, что  KB' : KA = MA' : MB.

Пусть  ∠KAP = ∠MPA' = α,  ∠MBP = ∠KPB' = β,  тогда  KB' = KP tg β = KA tg α tg β.  Аналогично и  MA' = MB tg α tg β.  Таким образом, оба отношения равны  tg α tg β.

Ответ

¹/_m.

Замечания

Можно провести похожие рассуждения, в которых вместо тригонометрии используется несколько пар подобных треугольников. Отсюда ясно, что полученный результат справедлив и в более общем случае: треугольник АВС – произвольный, а отрезки PK и PM параллельны его сторонам СВ и СА.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
	1
Класс	10
задача
Номер	10.3.2