ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116642
Темы:    [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны 10 попарно различных чисел. Для каждой пары данных чисел Вася записал у себя в тетради квадрат их разности, а Петя записал у себя в тетради модуль разности их квадратов. Могли ли в тетрадях у мальчиков получиться одинаковые наборы из 45 чисел?


Решение

  Если среди исходных чисел есть ноль, вычеркнем его. При этом из обеих тетрадок "исчезнет" по 9 чисел. Эти наборы из девяти чисел одинаковы:
a² – 0² = (a – 0)²,  поэтому достаточно доказать, что оставшиеся наборы (из 45 или 36 чисел) различны.
  Пусть среди (оставшихся) исходных чисел есть числа разных знаков. Рассмотрим минимальное и максимальное из них:  a < 0 < b.  Тогда в тетради Васи присутствует число  (ba)²,  которое больше как a², так и b²; у Пети же любое число не превосходит  max {a², b²}.  Противоречие.
  Пусть все числа – одного знака, например, положительны. Опять обозначив через a и b соответственно минимальное и максимальное из этих чисел, имеем  b² – a² = (b – a)(b + a) > (b – a)² ≥ (c – d)²,  где c и d – произвольные два исходных числа. Таким образом, число  b² – a²  встретится в тетради Пети, но не встретится у Васи.


Ответ

Не могли.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 5
класс
Класс 10
Задача
Номер 10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .