Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Царь пообещал награду тому, кто сможет на каменистом пустыре посадить красивый фруктовый сад. Об этом узнали два брата. Старший смог выкопать 18 ям (см. рис. слева). Больше нигде не удалось, только все лопаты сломал. Царь рассердился и посадил его в темницу. Тогда младший брат Иван предложил разместить яблони, груши и сливы в вершинах равных треугольников (см. рис. справа), а остальные ямы засыпать.
Царь ответил так:
— Хорошо, если деревьев каждого вида будет ровно по три и они будут расти в вершинах равных треугольников, выйдет красиво. Но три вида — слишком мало. Если кроме яблонь, груш и слив будут ещё и абрикосы — отпущу брата. Если добавишь пятый вид — черешню — заплачу за работу. Мне ещё миндаль нравится, но шесть треугольников ты тут не сможешь разместить.
— А если смогу?
— Тогда проси чего хочешь!
Иван задумался, не получить ли заодно и полцарства. Подумайте и вы: разместите как можно больше видов деревьев в вершинах равных треугольников. (Равенство треугольников означает равенство всех его сторон и углов, то есть точное совпадение при наложении; треугольники можно поворачивать и переворачивать. В одной яме может расти только одно дерево.)
Решение
|
|
 |
Условие
Даны 10 попарно различных чисел. Для каждой пары данных чисел Вася записал у себя в тетради квадрат их разности, а Петя записал у себя в тетради модуль разности их квадратов. Могли ли в тетрадях у мальчиков получиться одинаковые наборы из 45 чисел?
Решение
Если среди исходных чисел есть ноль, вычеркнем его. При этом из обеих тетрадок "исчезнет" по 9 чисел. Эти наборы из девяти чисел одинаковы:
a² – 0² = (a – 0)², поэтому достаточно доказать, что оставшиеся наборы (из 45 или 36 чисел) различны.
Пусть среди (оставшихся) исходных чисел есть числа разных знаков. Рассмотрим минимальное и максимальное из них: a < 0 < b. Тогда в тетради Васи присутствует число (b – a)², которое больше как a², так и b²; у Пети же любое число не превосходит max {a², b²}. Противоречие.
Пусть все числа – одного знака, например, положительны. Опять обозначив через a и b соответственно минимальное и максимальное из этих чисел, имеем b² – a² = (b – a)(b + a) > (b – a)² ≥ (c – d)², где c и d – произвольные два исходных числа. Таким образом, число b² – a² встретится в тетради Пети, но не встретится у Васи.
Ответ
Не могли.
