Задача 116679

Темы:    [ Общие четырехугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Стрелкова Н.П.

В четырёхугольнике ABCD угол B равен 150°, угол C прямой, а стороны AB и CD равны.
Найдите угол между стороной BC и прямой, проходящей через середины сторон BC и AD.

Решение

Пусть M – середина BC, N – середина AD. Построим параллелограмм ABMK и прямоугольник CDLM. Тогда AKDL – тоже параллелограмм (стороны AK и LD равны и параллельны). Значит, N является и серединой диагонали KL. В треугольнике KML  ∠KML = ∠KMC – ∠LMC = 150° – 90° = 60°,  а
KM = ML,  следовательно, он равносторонний. Поэтому медиана MN служит и биссектрисой, то есть  ∠KMN = 30°,  а  ∠BMN = 60°.

Ответ

60°.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2012/13
Номер	34
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер	5