Задача 116680

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Рудаков И.

На катетах прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вовне построили квадраты ACKL и BCMN; CE – высота треугольника. Докажите, что угол LEM прямой.

Решение

Из очевидного подобия треугольников AEC и ACB  CE : EA = CB : CA = CM : AL.  Поэтому при повороте на 90° и последующей гомотетии с центром E и коэффициентом  ^CE/_CA  отрезок EA переходит в EC, прямая AL в прямую CM. Значит, отрезок AL переходит в CM, а EL – в EM. Следовательно, угол LEM – прямой.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2012/13
Номер	34
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2