|
|
 |
Условие
На плоской горизонтальной площадке стоят пять прожекторов, каждый из которых испускает лазерный луч под одним из двух острых углов α или β к площадке и может вращаться лишь вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину луча. Известно, что любые четыре из этих прожекторов можно повернуть так, что все четыре испускаемых ими луча пересекутся в одной точке. Обязательно ли можно так повернуть все пять прожекторов, чтобы все пять лучей пересеклись в одной точке?
Решение
Так как каждый из пяти прожекторов испускает лазерный луч под одним из двух острых углов α или β к площадке, то найдутся по крайней мере три прожектора, которые испускают луч под одним и тем же углом. Будем считать, что это угол α.
Повернём эти три прожектора, расположенные в точках A, B и C, так, что испускаемые ими лучи пересекутся в одной точке D. Обозначим через H основание перпендикуляра, опущенного из точки D к плоскости ABC. Треугольники ADH, BDH и CDH равны. Следовательно, точка H является центром описанной окружности треугольника ABC и DH = AH·tg α. Таким образом, точка D определена однозначно.
Ответ
Обязательно.
Замечания
Утверждение о том, что все пять прожекторов можно так повернуть, чтобы испускаемые ими лучей пересеклись в одной точке, остаётся справедливым и в том случае, если опустить условие, что каждый из прожекторов испускает лазерный луч под одним из двух данных острых углов к площадке. Достаточно лишь потребовать, чтобы угол наклона каждого из лучей не менялся при повороте прожектора. Известное жюри доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.
