Задача 116709

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Гордин Р.К.

Дан параллелограмм ABCD. Вписанные окружности треугольников ABC и ADC касаются диагонали AC в точках X и Y. Вписанные окружности треугольников BCD и BAD касаются диагонали BD в точках Z и T. Докажите, что если все точки X, Y, Z, T различны, то они являются вершинами прямоугольника.

Решение

  Четырёхугольник XZYT, как и вся картинка, симметричен относительно центра O параллелограмма ABCD (см. рис.).

  Значит, XZYT – параллелограмм. Осталось проверить, что его диагонали равны.
  Пусть  BC = a,  AC = b,  AB = c.  По известным формулам для расстояния от вершин треугольника до точек касания сторон с вписанной окружностью (см. задачу 52554)  AX = ½ (b + c – a),  AY = CX = ½ (a + b – c),  поэтому  XY = |AX – AY| = |c – a|,  то есть разности сторон параллелограмма ABCD. Ясно, что тот же результат мы получим и для отрезка ZT.

Замечания

4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2011/2012
Номер	33
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	3