ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52554
Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольник ABC вписана окружность. Пусть x — расстояние от вершины A до касания окружности со стороной AB, BC = a. Докажите, что x = p - a, где p — полупериметр треугольника.


Подсказка

Используя равенство касательных, проведённых к окружности из одной точки, выразите сторону, равную a, через остальные стороны треугольника и указанный отрезок x.


Решение

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами AB, BC и AC через C1, A1 и B1 соответственно. Пусть AC = b и AB = c. Тогда

BA1 = BC1 = AB - AC1 = c - xCA1 = CB1 = AC - AB1 = b - x,

BC = BA1 + CA1 = c - x + b - x = b + c - 2x.

Следовательно,

x = $\displaystyle {\frac{b + c - a}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{b + c + a}{2}}$ - a = p - a.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 219

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .