ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116711
Темы:    [ Четность и нечетность ]
[ Инварианты ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У Носорога на шкуре есть вертикальные и горизонтальные складки. Всего складок 17. Если Носорог чешется боком о дерево, то либо две горизонтальные, либо две вертикальные складки на этом боку пропадают, зато на другом боку прибавляются две складки: горизонтальная и вертикальная. (Если двух складок одного направления нет, то ничего не происходит.) Носорог почесался несколько раз. Могло ли случиться, что на каждом боку вертикальных складок стало столько, сколько там раньше было горизонтальных, а горизонтальных стало столько, сколько там было вертикальных?


Решение

Пусть это удалось. Число складок на левом боку уменьшается на 2 при чесании левого бока и увеличивается на 2 при чесании правого. Так это число не изменилось, то левый и правый бока почесали одинаковое число раз. При каждом почёсывании общее число вертикальных складок меняется на 1, то есть меняет чётность. Так как всего сделано чётное количество почёсываний, чётность общего числа вертикальных складок в итоге не изменится. Но чётности чисел вертикальных и горизонтальных складок различны, так как их сумма (17) нечётна. Значит, конечное число вертикальных складок не равно начальному числу горизонтальных складок. Противоречие.


Ответ

Не могло.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .