Задача 116715

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Фольклор

Четырёхугольник ABCD без параллельных сторон вписан в окружность. Для каждой пары касающихся окружностей, одна из которых имеет хорду AB, а другая – хорду CD, отметим их точку касания X. Докажите, что все такие точки X лежат на одной окружности.

Решение

Обозначим через Ω₁ и Ω₂ касающиеся окружности, содержащие соответственно хорды AB и СD, а через Ω – описанную окружность четырёхугольника ABCD. Пусть O – точка пересечения прямых AB и СD. Тогда прямая AB – радикальная ось окружностей Ω₁ и Ω (см. задачу 56715), CD – радикальная ось окружностей Ω₂ и Ω, а общая касательная окружностей Ω₁ и Ω₂ – их радикальная ось. Эти три радикальные оси пересекаются в радикальном центре O всех трёх окружностей (см. задачу 61192).

При этом длина касательной OX равна степени точки O относительно Ω₁, то есть OA·OB. Это значит, что точка X лежит на окружности радиуса     с центром O.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2011/2012
Номер	33
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	4