ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 116712  (#1)

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны.
Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116713  (#2)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Дана клетчатая полоска из 2n клеток, пронумерованных слева направо следующим образом:

1, 2, 3, ..., n, –n, ..., –2, –1

По этой полоске перемещают фишку, каждым ходом сдвигая её на то число клеток, которое указано в текущей клетке (вправо, если число положительно, и влево, если отрицательно). Известно, что фишка, начав с любой клетки, обойдёт все клетки полоски. Докажите, что число  2n + 1  – простое.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116714  (#3)

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Замена переменных (прочее) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

На плоскости нарисовали кривые  y = cos x  и  x = 100 cos(100y)  и отметили все точки их пересечения, координаты которых положительны. Пусть a – сумма абсцисс, а b – сумма ординат этих точек. Найдите  a/b.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116715  (#4)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Фольклор

Четырёхугольник ABCD без параллельных сторон вписан в окружность. Для каждой пары касающихся окружностей, одна из которых имеет хорду AB, а другая – хорду CD, отметим их точку касания X. Докажите, что все такие точки X лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116716  (#5)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Симметричная стратегия ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Белая ладья стоит на поле b2 шахматной доски 8×8, а чёрная – на поле c4. Игроки ходят по очереди, каждый – своей ладьей, начинают белые. Запрещается ставить свою ладью под бой другой ладьи, а также на поле, где уже побывала какая-нибудь ладья. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Кто из игроков может обеспечить себе победу, как бы ни играл другой? (За ход ладья сдвигается по горизонтали или вертикали на любое число клеток, и считается, что она побывала только в начальной и конечной клетках этого хода.)

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .