|
|
 |
Условие
Для чисел а, b и с, отличных от нуля, выполняется равенство: a²(b + c – a) = b²(c + a – b) = c²(a + b – c). Следует ли из этого, что а = b = c?
Решение
0 = a²(b + c – a) – b²(c + a – b) = (a² – b²)c – (a² + b²)(a – b) = (a – b)(ac + bc – a² – b²) (1).
Аналогично (b – c)(ba + ca – b² – c²) = 0 (2)
и (c – a)(cb + ab – c² – a²) = 0 (3).
Пусть a = b. Тогда из равенства (2) получим, что с(a – c)² = 0, откуда, учитывая, что с ≠ 0, следует, что и с = a.
Аналогично все числа равны, если a = c или b = c.
Пусть все числа различны. Тогда a² + b² – ac – bc = b² + c² – ab – ac = c² + a² – bc – ab = 0. Складывая, получим:
0 = 2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2ac – 2bc = (a – b)² + (b – c)² + (a – c)² = 0. Противоречие.
Ответ
Следует.
