ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116758
Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Положительные действительные числа    a1, ..., an  и k таковы, что  a1 + ... + an = 3k,     и    .
Докажите, что какие-то два из чисел  a1, ..., an  отличаются больше чем на 1.


Решение

  По условию

= a1a²(a1a2)² + ... + an–1an(an–1an)² > 9k4 + 3k² – 9k4 = 3k².
  Если все разности наших чисел не больше 1, то  a1a2 + a1a3 + ... + an–1an > 3k².  Но     Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 5
класс
Класс 9
Задача
Номер 9.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .