|
|
 |
Условие
Пусть a1, ..., a10 – различные натуральные числа, не меньшие 3, сумма которых равна 678. Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа n на 20 чисел a1, a2, ..., a10, 2a1, 2a2,..., 2a10 равняться 2012?
Решение
Предположим, что такое число n существует. Максимальный возможный остаток от деления на натуральное число m равен m – 1. Поэтому сумма остатков от деления произвольного числа на числа a1, ..., a10 не больше чем 678 – 10 = 668, а сумма остатков от деления его на числа 2a1, 2a2,..., 2a10 не больше чем 2·678 – 10 = 1346. Если бы все остатки были максимальными возможными, то их сумма равнялась бы 668 + 1346 = 2014. Поскольку эта сумма для нашего числа n равна 2012, возможны только два случая.
1) Ровно один из остатков на 2 меньше максимального возможного, а остальные – максимальные возможные. Тогда при некотором k один из остатков от деления n на числа ak и 2ak – максимальный возможный, а другой – на 2 меньше. Значит, одно из чисел n + 1 и n + 3 делится на ak, а другое – на 2ak, то есть оба делятся на ak. Это невозможно, так как число (n + 3) – (n + 1) = 2 не делится на ak > 2.
2) Ровно два остатка на 1 меньше максимальных возможных. Тогда среди остатков от деления n на четные числа 2a1, 2a2,..., 2a10 по крайней мере восемь – максимальные возможные, то есть нечётные. Значит, n – нечётное число, и потому все остатки от деления его на числа 2a1, 2a2,..., 2a10 нечётны. Таким образом, они – максимальные возможные. Это значит, что n + 1 делится на все числа 2a1, 2a2,..., 2a10 и, следовательно, на все числа a1, ..., a10, то есть все 20 остатков – максимальные возможные. Противоречие.
Ответ
Не может.
Замечания
1. Можно показать, что ответ остаётся отрицательным, даже если предположить, что все числа ai больше 1.
2. Ср. с задачей 116755.
