|
|
 |
Условие
Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть l – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка I, параллельного l, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число C (зависящее только от прямой l) такое, что все полученные разности не превосходят C.
Решение
Лемма. Раскрасим клетки плоскости в два цвета: нечётные столбцы в зелёный цвет, а чётные – в жёлтый. Тогда для любого отрезка, параллельного прямой l, разность сумм длин его зелёных и жёлтых участков не превосходит некоторого числа D, зависящего только от l.
Доказательство. Прямая l разбивается вертикальными сторонами клеток на отрезки одинаковой длины; обозначим эту длину через L. Тогда для любого отрезка длины 2L, параллельного l, суммы длин его зелёных и жёлтых частей равны L. Любой отрезок, параллельный l, разбивается на такие отрезки и остаток длины, меньшей 2L; поэтому разность сумм длин его зелёных и жёлтых частей не превосходит 2L.
Раскрасим все чёрные клетки в розовый и голубой цвета так, чтобы розовые клетки были в тех же столбцах, что и красные, а голубые – в тех же, что и синие (см. рис.).
2|r – b| = |(r + r') – (b + b') + (r + b') – (r' + b)| ≤ |(r + r') – (b + b')| + |(r + b') – (r' + b)| ≤ D1 + D2.
Замечания
На самом деле в лемме можно положить D = L.
