|
|
 |
Условие
Окружность касается сторон AB, BC, CD параллелограмма ABCD в точках K, L, M соответственно.
Докажите, что прямая KL делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины C на AB.
Решение 1
Пусть CH – указанная высота, N – её точка пересечения с прямой KL, O – центр окружности. Ясно, что KM – диаметр окружности, а CHKM – прямоугольник. Высота CH равна диаметру, поэтому достаточно доказать, что СN = OK. Поскольку CO – биссектриса угла C равнобедренного треугольника LCM, то CO ⊥ LM. Но и прямая LK перпендикулярна LM, следовательно, CNKO – параллелограмм.
Решение 2
Пусть прямая KL пересекает прямую CD в точке P, а высоту CH – в точке N. Треугольник LCP, очевидно, подобен равнобедренному треугольнику LBK. Следовательно, CP = CL = CM. Значит, CN – средняя линия треугольника MPK. Поэтому CN = ½ MK = ½ CH.
Замечания
Баллы: Турнир городов – 5, Регата – 6.
