ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116832
Темы:    [ Центр масс ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
[ Правильные многоугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.

б) Внутри окружности находится правильный 2n-угольник  (n > 2),  его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.


Решение

  Если точка A совпадает с центром O окружности, то утверждение очевидно. В противном случае докажем, что центр масс – это середина отрезка OA.

  а) Прямые высекают две перпендикулярные хорды. У каждой хорды центр масс ее концов – середина этой хорды. Если одна из хорд – диаметр, то середина другой совпадает с A, поэтому центр масс – середина OA. Если обе хорды – не диаметр, то пусть B и C – их середины. Тогда OABC – прямоугольник, и центр масс – середина BC, которая совпадает с серединой OA.

  б) Соединив точки с A, получим n хорд, образующих с соседними равные углы 180°/n. Центр масс концов хорд совпадает с центром масс середин этих хорд. Середины указанных хорд лежат в вершинах правильного многоугольника, вписанного в окружность с диаметром OA (см. задачу 56549). Значит, их центр масс – это центр этой окружности, то есть – середина OA.

Замечания

баллы: 4 + 4

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2012/13
Номер 34
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .