|
|
 |
Условие
а) Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.
б) Внутри окружности находится правильный 2n-угольник (n > 2), его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.
Решение
Если точка A совпадает с центром O окружности, то утверждение очевидно. В противном случае докажем, что центр масс – это середина отрезка OA.
а) Прямые высекают две перпендикулярные хорды. У каждой хорды центр масс ее концов – середина этой хорды. Если одна из хорд – диаметр, то середина другой совпадает с A, поэтому центр масс – середина OA. Если обе хорды – не диаметр, то пусть B и C – их середины. Тогда OABC – прямоугольник, и центр масс – середина BC, которая совпадает с серединой OA.
б) Соединив точки с A, получим n хорд, образующих с соседними равные углы 180°/n. Центр масс концов хорд совпадает с центром масс середин этих хорд. Середины указанных хорд лежат в вершинах правильного многоугольника, вписанного в окружность с диаметром OA (см. задачу 56549). Значит, их центр масс – это центр этой окружности, то есть – середина OA.
Замечания
баллы: 4 + 4
