|
|
 |
Условие
а) Внутри сферы находится некоторая точка A. Через A провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.
б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр A не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из A в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.
Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.
Решение
Пусть O – центр сферы, Q – искомый центр масс. Прямые высекают хорды, и ясно, что Q – центр масс середин этих хорд (для икосаэдра, как центрально-симметричной фигуры, пары противоположных лучей тоже можно заменить прямыми, содержащими большие диагонали).
а) Середины хорд (обозначим их K, L, M) являются проекциями центра сферы O на проведённые прямые, поэтому
(вектор равен сумме своих проекций на три перпендикулярные оси). Отсюда .
б) Пусть Достаточно доказать, что c = αa, где коэффициент α не
зависит ни от вектора a, ни от положения икосаэдра.
Середины хорд являются проекциями точки O на диагонали икосаэдра. Пусть ei – единичный вектор, направленный по i-й диагонали, Ai – соответствующая проекция. Тогда и 6c = (a, e1)e1 + ... + (a, e6)e6. Последнее выражение зависит от a линейно, поэтому равенство
(a, e1)e1 + ... + (a, e6)e6 = 6αa (*)
достаточно доказать для любых трёх некомпланарных векторов, в частности,
для e1, e2, e3.
Заметим, что результат не изменится, если направления некоторых векторов ei сменить на противоположные, поэтому при доказательстве равенства (*) для a = e1 можно считать, что векторы e2, ..., e6 направлены в вершины икосаэдра, ближайшие к той, куда направлен вектор e1. Но тогда в силу симметрии (e1, e2) = ... = (e1, e6), а e2 + ... + e6 = βe1, где β ни от чего не зависит.
Аналогично доказывается равенство (*) для a = e2 и a = e3.
Замечания
1. Как видно из решения, 6α = 1 + 5cos²ψ, где ψ – угол между соседними диагоналями икосаэдра.
2. Баллы: 5 + 5.
3. Ср. с задачей 116832.
