ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116839
Темы:    [ Центр масс ]
[ Сферы (прочее) ]
[ Правильные многогранники (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Линейные зависимости векторов ]
[ Скалярное произведение ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Внутри сферы находится некоторая точка A. Через A провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.

б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр A не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из A в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.
Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.


Решение

  Пусть O – центр сферы, Q – искомый центр масс. Прямые высекают хорды, и ясно, что Q – центр масс середин этих хорд (для икосаэдра, как центрально-симметричной фигуры, пары противоположных лучей тоже можно заменить прямыми, содержащими большие диагонали).

  а) Середины хорд (обозначим их K, L, M) являются проекциями центра сферы O на проведённые прямые, поэтому  
(вектор равен сумме своих проекций на три перпендикулярные оси). Отсюда    .

  б) Пусть     Достаточно доказать, что  c = αa,  где коэффициент α не зависит ни от вектора a, ни от положения икосаэдра.

  Середины хорд являются проекциями точки O на диагонали икосаэдра. Пусть ei – единичный вектор, направленный по i-й диагонали, Ai – соответствующая проекция. Тогда     и  6c = (a, e1)e1 + ... + (a, e6)e6.  Последнее выражение зависит от a линейно, поэтому равенство

(a, e1)e1 + ... + (a, e6)e6 = 6αa       (*)

достаточно доказать для любых трёх некомпланарных векторов, в частности, для e1, e2, e3.
  Заметим, что результат не изменится, если направления некоторых векторов ei сменить на противоположные, поэтому при доказательстве равенства (*) для  a = e1  можно считать, что векторы  e2, ..., e6 направлены в вершины икосаэдра, ближайшие к той, куда направлен вектор e1. Но тогда в силу симметрии  (e1, e2) = ... = (e1, e6),  а  e2 + ... + e6 = βe1,  где β ни от чего не зависит.
  Аналогично доказывается равенство (*) для  a = e2  и  a = e3.

Замечания

1. Как видно из решения,  6α = 1 + 5cos²ψ,  где ψ – угол между соседними диагоналями икосаэдра.

2. Баллы: 5 + 5.

3. Ср. с задачей 116832.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2012/13
Номер 34
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .