Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник, сторона которого равна 2 . Основанием высоты, опущенной из вершины S , является точка O , лежащая внутри треугольника ABC . Расстояния от точки O до сторон AB , BC и CA находятся в отношении 2:1:3 . Площадь грани SAB равна . Найдите высоту пирамиды.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка K – середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС. На катетах АС и ВС выбраны точки М и N соответственно так, что угол МKN – прямой. Докажите, что из отрезков АМ, ВN и MN можно составить прямоугольный треугольник.

Решение 1

Продлим отрезок МK за точку K на его длину и получим точку Р (рис. слева). Из равенства треугольников BKP и АМK получим, что  BР = AM  и
BР || AM  (а значит,  BP ⊥ BN).  В треугольнике MPN отрезок NK является высотой и медианой, следовательно, этот треугольник – равнобедренный:  NP = MN.  Таким образом, прямоугольный треугольник NBР – искомый.

           

Решение 2

Дополнив все точки и отрезки, указанные в условии, им симметричными относительно точки K (рис. справа), мы получим прямоугольник ACBD и параллелограмм MNPQ. Так как угол MKN – прямой, то MNPQ – ромб, значит  QM = MN.  Из симметрии  AQ = BN,  и треугольник AQM – искомый.

Источники и прецеденты использования