Задача 116876

Темы:    [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Функция f(x) такова, что для всех значений x выполняется равенство  f(x + 1) = f(x) + 2x + 3.  Известно, что  f(0) = 1.  Найдите f(2012).

Решение

f(x + 1) – f(x) = 2x + 3.  Подставим вместо x числа  0, 1, 2, ..., 2011:  f(1) – f(0) = 2·0 + 3,  f(2) – f(1) = 2·1 + 3,  ...,  f(2012) – f(2011) = 2·2011 + 3.  Сложив эти равенства почленно, получим  f(2012) – f(0) = 2·(1 + 2 + ... + 2011) + 3·2012 = 2012·2011 + 3·2012.  Значит,  f(2012) = 1 + 2·2012 + 2012² = 2013².

Ответ

4052169 = 2013².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2012
класс
Класс	11
Задача
Номер	11.3