|
|
 |
Условие
Коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 удовлетворяют условию 2a + 3b + 6c = 0.
Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале (0, 1).
Решение
Рассмотрим функцию f(x) = ax² + bx + c.
Первый способ. Предположим, что данное уравнение не имеет корней на интервале (0, 1). Тогда, в силу непрерывности, функция f(x) сохраняет знак на этом промежутке. В частности, f(0) = c, f(½) = ¼ (a + 2b + 4c), f(1) = a + b + c – числа одного знака (f(0) и f(1) могут равняться нулю). Следовательно, число f(0) + 4f(½) + f(1) = 2a + 3b + 6c имеет тот же знак, что f(½). Противоречие.
Второй способ. f(0) = c, f(⅔) = 1/9 (4a + 6b + 9c) = 1/9 (– 12c + 9c) = – c/3. Если c = 0, то f(⅔) = 0. Если же c ≠ 0, то на концах отрезка [0, ⅔] функция f принимает значения разных знаков. Следовательно, она обращается в ноль в некоторой внутренней точке этого отрезка.
Третий способ. значит, функция f принимает на отрезке [0, 1] как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, она обращается в ноль в некоторой его внутренней точке.
