ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116889
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Теорема о промежуточном значении. Связность ]
[ Приложения интеграла (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Коэффициенты квадратного уравнения  ax² + bx + c = 0  удовлетворяют условию  2a + 3b + 6c = 0.
Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале  (0, 1).


Решение

  Рассмотрим функцию  f(x) = ax² + bx + c.

  Первый способ. Предположим, что данное уравнение не имеет корней на интервале  (0, 1).  Тогда, в силу непрерывности, функция f(x) сохраняет знак на этом промежутке. В частности,   f(0) = c,   f(½) = ¼ (a + 2b + 4c),   f(1) = a + b + c  – числа одного знака (f(0) и f(1) могут равняться нулю). Следовательно, число   f(0) + 4f(½) + f(1) = 2a + 3b + 6c  имеет тот же знак, что  f(½). Противоречие.

  Второй способ.   f(0) = c,   f(⅔) = 1/9 (4a + 6b + 9c) = 1/9 (– 12c + 9c) = – c/3.  Если  c = 0,  то   f(⅔) = 0.  Если же  c ≠ 0,  то на концах отрезка  [0, ⅔]  функция  f принимает значения разных знаков. Следовательно, она обращается в ноль в некоторой внутренней точке этого отрезка.

  Третий способ.     значит, функция  f принимает на отрезке  [0, 1]  как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, она обращается в ноль в некоторой его внутренней точке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2012/13
класс
Класс 11
задача
Номер 11.4.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .