На бесконечной во все стороны шахматной доске выделено некоторое множество клеток A. На всех клетках доски, кроме множества A, стоят короли. Все короли могут по команде одновременно сделать ход, заключающийся в том, что король либо остаётся на месте, либо занимает соседнее поле, то есть делает "ход короля". При этом он может занять и то поле, с которого сходит другой король, но в результате хода двум королям оказаться в одной клетке запрещается. Существует ли такое k и такой способ движения королей, что после k ходов вся доска будет заполнена королями? Рассмотрите варианты:
  а) A есть множество всех клеток, у которых обе координаты кратны 100 (предполагается, что одна горизонтальная и одна вертикальная линии занумерованы всеми целыми числами от минус бесконечности до бесконечности и каждая клетка доски обозначается двумя числами – координатами по этим двум осям);
  б) A есть множество всех клеток, каждая из которых бьётся хотя бы одним из 100 ферзей, расположенных каким-то фиксированным образом.

   Решение

Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Углы между биссектрисами ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Симметрия и построения ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC провели биссектрисы BB' и CC', а затем стёрли весь рисунок, кроме точек A, B' и C'.
Восстановите треугольник ABC при помощи циркуля и линейки.

Решение 1

  Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, а O – центр описанной окружности Ω треугольника B'IC'. Как известно,
∠B'IC' = 90° + ½ ∠A  (см. задачу 55448). Значит, ∠B'OC' = 180° – ∠B'AC'.
  Таким образом, можно построить точку O, а затем – точку I (как точку пересечения меньшей дуги B'C' окружности Ω с биссектрисой угла B'AC', см. рис.). Теперь точки B и C строятся как пересечение прямых B'I, AC' и C'I, AB' соответственно.

Решение 2

  Точка B' равноудалена от прямых BC и AB. Поэтому окружность с центром B', касающаяся AC', касается также BC. Аналогично прямая BC касается окружности с центром C', касающейся AB'  (см. рис.). Следовательно, для восстановления точек B и C достаточно провести общую внешнюю касательную к этим двум окружностям (лежащую по другую сторону от B'C', чем A) и найти точки её пересечения с AB' и AC'.

Источники и прецеденты использования