Задача 116908

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Рожкова М.

Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором  BC = a,  AB = AC = b.  На стороне AC во внешнюю сторону построен треугольник ADC, в котором
AD = DC = a.  Пусть CM и CN – биссектрисы в треугольниках ABC и ADC соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника CMN.

Решение

Пусть K – такая точка на отрезке AC, что  MK || BC.  Тогда  ∠MCA = ∠MCB = ∠CMK,  поэтому  MK = KC;  кроме того, из симметрии  KC = MB.  По теореме Фалеса и свойству биссектрисы  CK : AK = BM : AM = a : b = DN : AN.  Следовательно,  KN || CD;  аналогично предыдущему,  KN = KC.  Таким образом, K – центр описанной окружности треугольника CMN, а её радиус  KC = MB = ^ab/_a+b  (см. рис.).

Ответ

^ab/_a+b .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
класс
Класс	9
задача
Номер	9.6