ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116908
Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Рожкова М.

Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором  BC = aAB = AC = b.  На стороне AC во внешнюю сторону построен треугольник ADC, в котором
AD = DC = a.  Пусть CM и CN – биссектрисы в треугольниках ABC и ADC соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника CMN.


Решение

Пусть K – такая точка на отрезке AC, что  MK || BC.  Тогда  ∠MCA = ∠MCB = ∠CMK,  поэтому  MK = KC;  кроме того, из симметрии  KC = MB.  По теореме Фалеса и свойству биссектрисы  CK : AK = BM : AM = a : b = DN : AN.  Следовательно,  KN || CD;  аналогично предыдущему,  KN = KC.  Таким образом, K – центр описанной окружности треугольника CMN, а её радиус  KC = MB = ab/a+b  (см. рис.).


Ответ

ab/a+b .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2012
класс
Класс 9
задача
Номер 9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .