Задача 116925

Темы:    [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Фольклор

На доске записаны в ряд сто чисел, отличных от нуля. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, является произведением двух соседних с ним чисел. Первое число – это 7. Какое число последнее?

Решение

По условию  a₂ = a₁a₃,  a₃ = a₂a₄,  ...,  a₉₉ = a₉₈ a₁₀₀.  Перемножив два соседних равенства, получим  a_ka_k+3 = 1,  то есть  a_k+3 = ¹/_ak .  Значит,
a_k+6 = a_k .  Следовательно,  a₁ = a₇ = ... = a₉₇ = 7,  а  a₁₀₀ = ¹/_a97 = ¹/₇ .

Ответ

¹/₇.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
Класс	8
задача
Номер	8.3.1