Задача 116934
|
|
 |
Условие
По кругу выписаны 1000 чисел. Петя вычислил модули разностей соседних чисел, Вася – модули разностей чисел, стоящих через одно, а Толя – модули разностей чисел, стоящих через два. Известно, что каждое Петино число больше любого Васиного хотя бы вдвое. Докажите, что каждое Толино число не меньше любого Васиного.
Решение
Пусть v – наибольшее из Васиных чисел, а t – какое-то из Толиных (скажем, t = |a – d|, где a, b, c, d – четыре выписанных подряд числа). Среди Петиных чисел встречается число |a – b|; значит, |a – b| ≥ 2v. Поэтому t = |a – d| = |(a – b) + (b – d)| ≥ |a – b| – |b – d| ≥ 2v – v = v, что и требовалось доказать.
