Задача 116937

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Серединный перпендикуляр к стороне AC неравнобедренного остроугольного треугольника ABC пересекает прямые AB и BC в точках B₁ и B₂ соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямые AC и BC в точках C₁ и C₂ соответственно. Описанные окружности треугольников BB₁B₂ и CC₁C₂ пересекаются в точках P и Q. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PQ.

Решение

  Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Покажем сначала, что прямая OB касается описанной окружности ω_b треугольника BB₁B₂.
  Пусть  AB < BC;  тогда точка B₂ лежит на стороне BC, а B₁ – на продолжении стороны AB за точку B. Имеем  ∠B₂B₁A = ∠OB₁A = 90° – ∠A. С другой стороны,  ∠B₂BO = ∠CBO = 90° – ½ ∠BOC = 90° – ∠A.  Таким образом, вписанный угол B₂B₁B равен углу между секущей BB₂ и прямой OB. Следовательно, OB касается ω_b.
  Если  AB > BC,  то проходит то же рассуждение с заменой точки A на C и наоборот.

  Аналогично прямая OC касается описанной окружности ω_c треугольника CC₁C₂. Допустим, что прямая OP пересекает ω_b и ω_c в различных точках Q_b и Q_c. Тогда  OQ_b·OP = OB² = OC² = OQ_c·OP,  откуда  OQ_b = OQ_c.  Поскольку точки Q_b и Q_c лежат по ту же сторону от O, что и P, то они совпадают между собой, а значит, и с Q.

Замечания

1. После того, как мы установили, что OB и OC – касательные, можно рассуждать короче:  OB = OC,  поэтому точка O лежит на радикальной оси окружностей ω_b и ω_c, а это и есть прямая PQ. Это утверждение верно и для случая, когда ω_b и ω_c не пересекаются.

2. Нетрудно показать, что на этой радикальной оси лежит и вершина A.

3. Для неостроугольного треугольника утверждение задачи также верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2012-2013
этап
	1
Вариант	4
класс
Класс	9
Задача
Номер	9.7