Задача 116940

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую A₁C₁ в точках A' и C'. Касательные к Ω, проведённые в точках A' и C', пересекаются в точке B'. Докажите, что прямая BB' проходит через центр окружности Ω.

Решение

Угол BA₁C₁ (совпадающий с BA₁C') измеряется полусуммой дуг BC' и CA', а равный ему угол A (см. задачу 52537) – половиной дуги BC. Значит, дуги BA' и BC' равны. Поэтому точки B' и B лежат на серединном перпендикуляре к хорде A'C' окружности Ω. Центр окружности Ω также лежит на этом серединном перпендикуляре.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2012-2013
этап
	1
Вариант	4
класс
Класс	10
Задача
Номер	10.2