Задача 52537

Темы:    [ Диаметр, основные свойства ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В данном круге проведены две равные параллельные хорды, расстояние между которыми равно радиусу данного круга. Найдите острый угол между прямыми, соединяющими концы хорд.

Подсказка

Докажите, что указанные прямые пересекаются в центре окружности.

Решение

Пусть AB и A₁B₁ — равные параллельные хорды. Проведём через центр O окружности диаметр, перпендикулярный хорде AB. Тогда он перпендикулярен и хорде A₁B₁ и проходит через середины M и M₁ данных хорд.

Четырёхугольник ABB₁A₁ — параллелограмм, а значит, — прямоугольник, диагонали которого пересекаются в точке O. Если R -- радиус окружности, то BB₁ = MM₁ = R. Тогда треугольник BOB₁ — равносторонний. Следовательно, BOB₁ = 60^o.

Ответ

60^o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	202