ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116954
Темы:    [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Фигура мамонт бьёт как слон (по диагоналям), но только в трёх направлениях из четырёх (отсутствующее направление может быть разным для разных мамонтов). Какое наибольшее число не бьющих друг друга мамонтов можно расставить на шахматной доске 8×8?


Решение

  Оценка. Из каждого мамонта выпустим три стрелки в тех направлениях, в которых он бьёт. Сопоставим стрелку диагонали (не обязательно главной), если мамонт, из которого ведёт стрелка, стоит в этой диагонали, а стрелка идёт вдоль неё. Тогда каждой диагонали сопоставлено не более двух стрелок: в противном случае две из них будут идти в одном направлении, и один из мамонтов будет бить другого. Поскольку диагоналей всего 30 (по 15 в каждом направлении), стрелок им сопоставлено не более 60, а значит, всего мамонтов не больше  60 : 3 = 20.
  Три возможных примера расположения 20 мамонтов, не бьющих друг друга, показаны на рисунке.


Ответ

20 мамонтов.

Замечания

Для построения примера достаточно расставить 10 мамонтов на белых полях; расстановка чёрных получится поворотом на 90╟ или симметрией относительно средней линии доски.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
1
Вариант 4
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .