ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116993
Темы:    [ Шахматная раскраска ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Степень вершины ]
[ Четность и нечетность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Куб с ребром n составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких n это возможно?


Решение

  Количество "соприкосновений" чёрных и белых граней в три раза больше как количества чёрных, так и количества белых кубиков. Следовательно, количество чёрных кубиков равно количеству белых и общее число кубиков чётно.
  Построим теперь куб с ребром 2, удовлетворяющий условию задачи. Для этого нижний слой 2×2 уложим в шахматном порядке, а верхний – также в шахматном порядке, но с противоположной раскраской (см. рис.). Любой куб с чётной длиной ребра, удовлетворяющий условию, можно собрать из таких кубиков с ребром 2, прикладывая их друг к другу гранями с одинаковой раскраской.


Ответ

При всех чётных n.

Замечания

1. Чётность количества кубиков сразу следует из леммы о рукопожатиях (см. задачу 98656).

2. 4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1992/1993
Номер 14
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2
олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2012/13
класс
1
Класс 10
задача
Номер 10.3.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .