ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116994
Тема:    [ Теорема о промежуточном значении. Связность ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Пусть  x1, x2, ..., xn  – некоторые числа, принадлежащие отрезку  [0, 1].
Докажите, что на этом отрезке найдется такое число x, что   1/n (|x – x1| + |x – x2| + ... + |x – xn|)  = ½.


Решение

  Рассмотрим функцию  f(x) = 1/n (|x – x1| + |x – x2| + ... + |x – xn|)  на отрезке  [0, 1].  Она непрерывна. Рассмотрим два её значения:
f(0) = 1/n (|x1| + |x2| + ... + |xn|)  и  f(1) = 1/n (|1 – x1| + |1 – x2| + ... + |1 – xn|).  Так как  |x| + |1 – x| = 1  для любого x из отрезка  [0, 1],  то  f(0) + f(1) = 1.
  Если  f(0) = f(1) = ½,  то доказываемое равенство выполняется как при  x = 0,  так и при  x = 1.  Если же одно из этих чисел меньше, чем ½, то другое – больше, чем ½. Тогда по теореме о промежуточном значении  f(x) = ½,  для некоторого x из интервала  [0, 1].

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2012/13
класс
1
Класс 10
задача
Номер 10.4.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .