|
|
 |
Условие
Пусть x1, x2, ..., xn – некоторые числа, принадлежащие отрезку [0, 1].
Докажите, что на этом отрезке найдется такое число x, что
1/n (|x – x1| + |x – x2| + ... + |x – xn|) = ½.
Решение
Рассмотрим функцию f(x) = 1/n (|x – x1| + |x – x2| + ... + |x – xn|) на отрезке [0, 1]. Она непрерывна. Рассмотрим два её значения:
f(0) = 1/n (|x1| + |x2| + ... + |xn|) и f(1) = 1/n (|1 – x1| + |1 – x2| + ... + |1 – xn|). Так как |x| + |1 – x| = 1 для любого x из отрезка [0, 1], то f(0) + f(1) = 1.
Если f(0) = f(1) = ½, то доказываемое равенство выполняется как при x = 0, так и при x = 1. Если же одно из этих чисел меньше, чем ½, то другое – больше, чем ½. Тогда по теореме о промежуточном значении f(x) = ½, для некоторого x из интервала [0, 1].
