ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 117004
Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Двоичная система счисления ]
Сложность: 3
Классы: 5,6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Разрежьте по клеточкам квадрат 7×7 на девять прямоугольников (не обязательно различных), из которых можно будет сложить любой прямоугольник со сторонами, не превосходящими 7.


Решение

  Разрежем квадрат на три "узких" прямоугольника (1×1, 2×1 и 4×1), три "средних" (1×2, 2×2 и 4×2) и три "широких" (1×4, 2×4 и 4×4).
  Из "узких" прямоугольников можно сложить прямоугольник любой высоты от 1 до 7 и ширины 1. Аналогично из "средних" прямоугольников можно сложить прямоугольник любой высоты от 1 до 7 и ширины 2, а из "широких" – прямоугольник любой высоты от 1 до 7 и ширины 4. Из полученных "узкого", "среднего" и "широкого" прямоугольников нужной высоты можно сложить прямоугольник этой высоты и любой ширины от 1 до 7.


Ответ

Cм. рис.

Замечания

1. Решение основано на том, что из первых n степеней двойки (начиная с  20 = 1)  можно составить любую сумму от 1 до  2n – 1 включительно. На этом факте основана двоичная система счисления. В данном случае  n = 3.

2. Желающие могут подумать:
  а) существуют ли 25 клетчатых прямоугольников, из которых можно составить любой клетчатый прямоугольник со сторонами, не превосходящими 31;   б) существуют ли 100 прямоугольников, из которых можно составить любой клетчатый прямоугольник со сторонами, не превосходящими 1000?

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 11 (2013 год)
Дата 2013-03-17
класс
1
Класс 7 класс
задача
Номер 7.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .