Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений
4x – 4–x = 2 cos ax, 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007.
Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
В наборе из 17 внешне одинаковых монет две фальшивых, отличающихся от остальных по весу. Известно, что суммарный вес двух фальшивых монет вдвое больше веса настоящей. Всегда ли можно ли определить пару фальшивых монет, совершив пять взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Определять, какая из фальшивых монет тяжелее, не требуется.)
У входа в пещеру стоит барабан, на нём по кругу через равные промежутки расположены N одинаковых с виду бочонков. Внутри каждого бочонка лежит селёдка – либо головой вверх, либо головой вниз, но где как – не видно (бочонки закрыты). За один ход Али-Баба выбирает любой набор бочонков (от 1 до N штук) и переворачивает их все. После этого барабан приходит во вращение, а когда останавливается, Али-Баба не может определить, какие бочонки перевёрнуты. Пещера откроется, если во время вращения барабана все N селёдок будут расположены головами в одну сторону. При каких N Али-Баба сможет открыть пещеру?
У Винтика и у Шпунтика есть по три палочки суммарной длины 1 метр у каждого. И Винтик, и Шпунтик могут сложить из трёх своих палочек треугольник. Ночью в их дом прокрался Незнайка, взял по одной палочке у Винтика и у Шпунтика и поменял их местами. Наутро оказалось, что Винтик не может сложить из своих палочек треугольник. Можно ли гарантировать, что Шпунтик из своих — сможет?
а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь n-го прямоугольника равна n². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.
б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа N найдутся квадраты суммарной площади больше N?
На рисунке приведены три примера показаний исправных электронных часов. Сколько палочек могут перестать работать, чтобы время всегда можно было определить однозначно?
|
|
 |
Условие
На рисунке приведены три примера показаний исправных электронных часов. Сколько палочек могут перестать работать, чтобы время всегда можно было определить однозначно?
Решение
На первой позиции требуется различить три цифры: 0, 1 и 2. Для этого можно обойтись двумя палочками, например, верхней и средней: если они горят обе, то это 2, если только верхняя, то это 0, а если не горит ни одна – это 1. Одной палочкой, очевидно, обойтись нельзя.
На второй и на четвёртой позициях надо уметь различать все 10 цифр. Обязаны работать пять палочек: верхняя, иначе мы спутаем 7 и 1; средняя, иначе спутаем 8 и 0; левая верхняя, иначе спутаем 9 и 3; левая нижняя, иначе спутаем 6 и 5; правая верхняя, иначе спутаем 9 и 5. Палочки нижняя и правая нижняя могут не работать – несложно проверить, что путаницы в цифрах не будет.
Осталась третья позиция, на которой нужно уметь различать цифры от 0 до 5. Две палочки дают четыре комбинации, значит, необходимы, как минимум, три работающие палочки. И действительно, можно обойтись верхней, левой верхней и левой нижней палочками. Тогда цифры на этой позиции будут выглядеть так:
Таким образом, на первой позиции может не работать 5 палочек, на второй и на четвертой – по две и на третьей – 4. Итого: 5 + 2 + 2 + 4 = 13.
Ответ
13 палочек.
