Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M; P — произвольная точка. Прямая l_a проходит через точку A параллельно прямой PA₁; прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что:
а) прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке Q;
б) точка M лежит на отрезке PQ, причем PM : MQ = 1 : 2.

   Решение

Темы:    [ Произвольные многоугольники ] [ Степень вершины ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 3 Классы: 5,6,7

Прислать комментарий

Условие

Можно ли нарисовать 1006 различных 2012-угольников, у которых все вершины общие, но при этом ни у каких двух нет ни одной общей стороны?

Решение

Рассмотрим одну из вершин – A. Из неё можно выпустить не более 2011 отрезков, соединяющих её с другими вершинами. Но в каждом из 2012-угольников из A выходит две стороны. Значит, таких многоугольников не больше 1005.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования