|
|
 |
Условие
Найдите все n, при которых для любых двух многочленов P(x) и Q(x) степени n найдутся такие одночлены axk и bxl
(0 ≤ k ≤ n, 0 ≤ l ≤ n), что графики многочленов P(x) + axk и Q(x) + bxl не будут иметь общих точек.
Решение
Графики многочленов P(x) + axk и Q(x) + bxl не имеют общих точек тогда и только тогда, когда многочлен P(x) + axk – Q(x) – bxl не имеет корней. Иными словами, надо у многочлена R(x) = P(x) – Q(x) так изменить не больше двух коэффициентов, чтобы у получившегося многочлена не было корней.
Из любого многочлена R степени 0 или 1 можно сделать многочлен, тождественно равный 1.
Пусть n > 1. Если n нечётно, то нам "случайно" может достаться многочлен R(x) = xn + x. Тогда, с одной стороны, надо "убить" xn, так как многочлен нечётной степени всегда имеет корень, а с другой – добавить ненулевую константу a, чтобы не было нулевого корня. Но полученный многочлен x + a имеет корень.
Если n чётно, то, добавив, если надо, одночлен степени n, превратим R в многочлен чётной степени с положительным старшим коэффициентом. Такой многочлен имеет наименьшее значение M. Добавив константу 1 – M, получим положительный многочлен.
Ответ
n = 1 и все неотрицательные чётные n.
Замечания
6 баллов
