В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если
  а)  k = 7;   б)  k = 10.

   Решение

Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по 7 из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по 8 из этих чисел. Могло ли случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.)

   Решение

С помощью циркуля и линейки опишите около данной окружности ромб с данным углом.

   Решение

Решить в целых числах уравнение  ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c = 1.

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Решить в целых числах уравнение  ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c = 1.

Решение

  Если  a = 1,  то  c = – b.
  Пусть ни одно из чисел не равно 1. Тогда каждое из слагаемых не больше ½. Отсюда сразу следует, что ни одно из чисел не может быть отрицательным. Поэтому можно считать, что  1 < a ≤ b ≤ c  (остальные решения получатся перестановкой).
  Если  a > 3,  то  ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c < ¹/₃ + ¹/₃ + ¹/₃ = 1.
  Поэтому возможны только два случая:
  1)  a = 3  (и тогда, очевидно,  b = c = 3);
  2)  a = 2.  В этом случае  ¹/_b + ¹/_c = ½.  При этом  b ≤ 4.
  Поэтому либо  b = 4  (и тогда  c = 4),  либо  b = 3  (и тогда  c = 6).

Ответ

(3, 3, 3),  {2, 3, 6},  {2, 4, 4},  {1, t, – t},  где t – любое целое число.

Источники и прецеденты использования