Задача 30796

Темы:    [ Планарные графы. Формула Эйлера ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В квадрате отметили 20 точек и соединили их непересекающимися отрезками друг с другом и с вершинами квадрата так, что квадрат разбился на треугольники. Сколько получилось треугольников?

Решение 1

  Будем считать отмеченные точки и вершины квадрата вершинами, а соединяющие их отрезки и стороны квадрата – рёбрами плоского графа. Для каждого куска, на которые этот граф разбивает плоскость, подсчитаем число ограничивающих его рёбер, и все полученные числа сложим. Поскольку каждое ребро разделяет два куска, то в итоге получим удвоенное число рёбер. Так как все куски, кроме внешнего – треугольники, а внешний кусок ограничен четырьмя рёбрами, то  3(F – 1) + 4 = 2E,  то есть  E = 3(F – 1) : 2 + 2.  Заметим, что число вершин нашего графа равно 24 и подставим количества вершин и рёбер в формулу Эйлера (задача 30759):  24 – (½ (F – 1) + 2) + F = 2.
  Отсюда  F = 43.  Таким образом, число треугольников, на которые разбился квадрат, равно 42.

Решение 2

  Пусть квадрат разбился на n треугольников. Подсчитаем двумя способами сумму углов этих треугольников. С одной стороны, она равна 180°n. С другой стороны, эти углы составляют 20 полных углов и четыре угла квадрата, то есть сумма их равна  20·360° + 4·90° = 42·180°.  Отсюда  n = 42.

Ответ

42 треугольника.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	13
Название	Графы-2
Тема	Теория графов
задача
Номер	018