|
|
 |
Условие
В квадрате отметили 20 точек и соединили их непересекающимися отрезками друг с другом и с вершинами квадрата так, что квадрат разбился на треугольники. Сколько получилось треугольников?
Решение 1
Будем считать отмеченные точки и вершины квадрата вершинами, а соединяющие их отрезки и стороны квадрата – рёбрами плоского графа. Для каждого куска, на которые этот граф разбивает плоскость, подсчитаем число ограничивающих его рёбер, и все полученные числа сложим. Поскольку каждое ребро разделяет два куска, то в итоге получим удвоенное число рёбер. Так как все куски, кроме внешнего – треугольники, а внешний кусок ограничен четырьмя рёбрами, то 3(F – 1) + 4 = 2E, то есть E = 3(F – 1) : 2 + 2. Заметим, что число вершин нашего графа равно 24 и подставим количества вершин и рёбер в формулу Эйлера (задача 30759): 24 – (½ (F – 1) + 2) + F = 2.
Отсюда F = 43. Таким образом, число треугольников, на которые разбился квадрат, равно 42.
Решение 2
Пусть квадрат разбился на n треугольников. Подсчитаем двумя способами сумму углов этих треугольников. С одной стороны, она равна 180°n. С другой стороны, эти углы составляют 20 полных углов и четыре угла квадрата, то есть сумма их равна 20·360° + 4·90° = 42·180°. Отсюда n = 42.
Ответ
42 треугольника.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. |
| Год издания | 1994 |
| Название | Ленинградские математические кружки |
| Издательство | Киров: "АСА" |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 13 |
| Название | Графы-2 |
| Тема | Теория графов |
| задача | |
| Номер | 018 |
