Задача 30820

Тема:    [ Ориентированные графы ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Условие

В некоторой стране есть столица и еще 100 городов. Некоторые города (в том числе и столица) соединены дорогами с односторонним движением. Из каждого нестоличного города выходит 20 дорог, и в каждый такой город входит 21 дорога. Докажите, что в столицу нельзя проехать ни из одного города.

Решение

Пусть в столицу входит a дорог. Тогда общее число "входящих" дорог равно  21·100 + a,  а общее количество "выходящих" дорог не больше
20·100 + (100 – a).  Поэтому  21·100 + a ≤ 20·100 + (100 – a),  то есть  2a ≤ 0.  Таким образом,  a = 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	13
Название	Графы-2
Тема	Теория графов
задача
Номер	042