Задача 30858

Темы:    [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 6,7

Условие

Найдите наибольшее из чисел  5¹⁰⁰, 6⁹¹, 7⁹⁰, 8⁸⁵.

Решение

  (⁶/₅)⁹ = (²¹⁶/₂₁₅)³ > (²¹⁶/₁₂₆)³ = (¹²/₇)³ = ¹⁷²⁸/₃₄₃ > 5. Следовательно,  6⁹⁰ > 5¹⁰⁰.
  Согласно неравенству Бернулли  (⁷/₆)⁹⁰ > 1 + ⁹⁰/₆ = 16 > 6.  Следовательно,  7⁹⁰ > 6⁹¹.
  Заметим, что  ^m/_n > ^m+1/_n+1  при  m > n > 0.  Поэтому  (⁸/₇)⁶ = (⁶⁴/₄₉)³ > (⁶⁵/₅₀)³ = (1,3)³ = 2,197 > 2.  Следовательно,  8⁶ > 2·7⁶,  8⁹⁰ > 2¹⁵·7⁹⁰ = 8⁵·7⁹⁰,  то есть  8⁸⁵ > 7⁹⁰.

Ответ

8⁸⁵.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	16
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер	015