В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было четыре телефона, каждый из которых соединен с тремя другими, восемь телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и три телефона, каждый из которых соединен с пятью другими?

   Решение

Через данную точку на плоскости проводятся всевозможные прямые, пересекающие данную окружность. Найти геометрическое место середин получившихся хорд.

   Решение

Дана таблица размером 8×8, изображающая шахматную доску. За каждый шаг разрешается поменять местами любые два столбца или любые две строки. Можно ли за несколько шагов сделать так, чтобы верхняя половина таблицы стала белой, а нижняя половина – чёрной?

   Решение

Докажите, что  ½ (x² + y²) ≥ xy  при любых x и y.

   Решение

Тема:    [ Неравенство Коши ]

Сложность: 2 Классы: 6,7

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что  ½ (x² + y²) ≥ xy  при любых x и y.

Решение

Перегруппировав члены, получаем  ½ (x – y)² ≥ 0.

Замечания

Тем самым доказано неравенство Коши     для двух положительных чисел (достаточно сделать замену  a = x²,  b = y²).

Источники и прецеденты использования