Задача 30892

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Условие

Докажите, что при любых x, y, z выполнено неравенство: x⁴ + y⁴ + z² + 1 ≥ 2x(xy² – x + z + 1).

Решение

x⁴ + y⁴ + z² + 1 – 2x(xy² – x + z + 1) = x⁴ – 2x²y² + y⁴ + z² – 2xz + x² + x² – 2x + 1 = (x² – y²)² + (z – x)² + (x – 1)² ≥ 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	16
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер	049