Задача 30918

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7

Условие

a, b, c > 0  и  abc = 1.  Известно, что   a + b + c > ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c.  Докажите, что ровно одно из чисел a, b, c больше 1.

Решение

  Заметим, что  ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c = bc + ac + ab.  Поэтому  (1 – a)(1 – b)(1 – c) = 1 – (a + b + c) + (ab + bc + ac) – 1 < 0.
  Значит, в левой части нечётное число отрицательных множителей. Все три отрицательны быть не могут (иначе  abc > 1),  следовательно, отрицателен ровно один, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	16
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер	075