ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32036
Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Куб ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Петя написал на гранях кубика натуральные числа от 1 до 6. Вася кубика не видел, но утверждает, что

а) у этого кубика есть две соседние грани, на которых написаны соседние числа;

б) таких пар соседних граней у кубика не меньше двух.

Прав ли он в обоих случаях? Почему?


Решение

В наборе натуральных чисел от 1 до 6 можно найти пять пар соседних чисел: 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 5, 5 и 6. Каждая такая пара может быть написана либо на двух соседних гранях кубика, либо на двух противоположных. Но пар противоположных граней у кубика всего три. Поэтому их могут занимать не более трех пар соседних чисел. Значит, по крайней мере две такие пары занимают соседние грани. Следовательно, можно утверждать, что Вася прав в обоих случаях.

Замечания

Источник решения: книга "В.О.Бугаенко. Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике. МЦНМО-ЧеРо. 1998".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер 07
Дата 1984
задача
Номер 02

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .