Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было четыре телефона, каждый из которых соединен с тремя другими, восемь телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и три телефона, каждый из которых соединен с пятью другими?
Через данную точку на плоскости проводятся всевозможные прямые, пересекающие данную окружность. Найти геометрическое место середин получившихся хорд.
Дана таблица размером 8×8, изображающая шахматную доску. За каждый шаг разрешается поменять местами любые два столбца или любые две строки. Можно ли за несколько шагов сделать так, чтобы верхняя половина таблицы стала белой, а нижняя половина – чёрной?
Докажите, что ½ (x² + y²) ≥ xy при любых x и y.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4 м. Найдите радиус описанной окружности.
За круглым столом сидело а) 15; б) 20 человек. Они хотят пересесть так, чтобы те, кто раньше сидел рядом, теперь сидели бы через два человека. Возможно ли это?
|
|
 |
Условие
За круглым столом сидело а) 15; б) 20 человек. Они хотят пересесть так, чтобы те, кто раньше сидел рядом, теперь сидели бы через два человека. Возможно ли это?
Решение
а) Пронумеруем все места за столом по кругу и всех сидящих соответственно занимаемым местам. Будем считать, что нам удалось всех пересадить требуемым образом. Без ограничения общности можно считать, что человек 1 остался сидеть на своем месте. Если это не так, то этого можно добиться поворотом стола; при этом условие задачи нарушиться, очевидно, не может. Человек 2 может сидеть либо на месте 4, либо на месте 13. Разберем первый из этих случаев (рис. a). В этом случае для третьего есть единственное место, удовлетворяющее условию — 7. Далее, 4-й может сидеть только на месте 10, 5-й — на месте 13. При этом для 6-го единственное возможное место — 1. Но оно уже занято первым. Значит, рассадить людей требуемым образом не удастся. Второй случай разбирается аналогично.
б) Опять пронумеруем места подряд вокруг стола и людей соответственно занимаемым местам. На рис. б) показан способ пересадить людей, удовлетворяющий условиям задачи.
